Векторлы арауыҡ битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{Значения|Арауыҡ}}
{{Перенаправление|Һыҙыҡлы арауыҡ}}
'''Ве́кторлы''' (йәки '''һыҙыҡлы''') '''арауыҡ''' — [[Вектор (математика)|векторҙар]] тип аталған, улар өсөн бер-береһенә ҡушыу һәм һанға — [[скаляр]]ға ҡабатлау ғәмәлдәре билдәләнгән элементтар йыйынтығы булған [[математик структура]] ул<ref>Не следует путать понятия «умножение на скаляр» и «[[скалярное произведение]]».</ref>. Был ғәмәлдәр һигеҙ аксиомаға буйһона.{{Переход|#Определение}} Скалярҙар [[Ысын һан|ысын]], [[Комплекслы һан|комплекслы]] йәки теләһә ниндәй икенсе [[Ялан (алгебра)|һандар яланы]] элементтары булырға мөмкиндәр. Шундай арауыҡтың айырым осрағы булып ғәҙәттәге өс үлсәмле [[Евклид арауығы]] тора, уның векторҙары, миҫалға, [[Көс|физик көстө]] һүрәтләү өсөн ҡулланылалар. Шул уҡ ваҡытта векторҙың, векторлы арауыҡтың элементы булараҡ, йүнәлешле киҫек рәүешендә бирелеүе мотлаҡ түгел икәнен билдәләп китергә кәрәк. «Вектор» төшөнсәһен теләһә ниндәй тәбиғәтле векторлы арауыҡ элементына тиклем дөйөмләштереү, терминдарҙың буталыуына килтермәй генә түгел, теләһә ниндәй тәбиғәтле арауыҡтар өсөн дөрөҫ булған күп кенә һөҙөмтәләрҙе асыҡларға йәки хатта алдан күрергә мөмкинлек бирә{{sfn|Ильин, Позняк|2010|с=45}}.

Векторлы арауыҡтар [[Һыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебраның]] өйрәнеү темаһы булып торалар. Векторлы арауыҡтарҙың төп характеристикаларының береһе булып уның үлсәмле булыуы тора.{{Переход|#Базис. Размерность}} Үлсәм арауыҡтың һыҙыҡлы бәйһеҙ элементтарының иң ҙур һаны, йәғни, тупаҫ геометрик интерпретацияға мөрәжәғәт итһәк, бер береһе аша тик ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау ғәмәле менән генә күрһәтелә алмаған йүнәлештәр һаны. Векторлы арауыҡҡа өҫтәлмә структуралар тағырға мөмкин, мәҫәлән, [[Норма (математика)|норма]] йәки [[скаляр ҡабатлау]]. Шундай арауыҡтар [[математик анализ]]да тәбиғи рәүештә барлыҡҡа киләләр, башлыса векторҙар сифатында [[Функция (математика)|функциялар]] сығыш яһаған сикһеҙ үлсәмле {{Не переведено|:en:Function space|Функциональ арауыҡ|функциональ арауыҡтар}} рәүешендә. Анализдың күп проблемалары векторҙар эҙмә-эҙлелеге бирелгән векторға йыйыламы икәнен асыҡлауҙы талап итә. Өҫтәлмә структуралары, күпселек осраҡта — яҡынлыҡ һәм [[Өҙлөкһөҙ сағылыш|өҙлөкһөҙлөк]] төшөнсәләрен асыҡларға ярҙам итеүсе ҡулайлы [[топология]]лары булған векторлы арауыҡтарҙа ошондай һорауҙарҙы хәл итеү мөмкин. Шундай [[топологик векторлы арауыҡ]]тар, атап әйткәндә, [[Банахов арауығы|Банахов]] һәм [[Гильберт арауығы|Гильберт]] арауыҡтары, тәрән өйрәнеүҙе талап итәлр.
Векторлы арауыҡ төшөнсәһен индереүҙе алдан һиҙҙереүсе беренсе хеҙмәттәр [[XVII быуат]]ҡа ҡарай. Тап шул ваҡытта [[аналитик геометрия]], [[Матрица (математика)|матрицалар]], [[СЛАУ|һыҙыҡлы тигеҙләмәләр системалары]], [[Вектор (математика)|Евклид векторҙары]] тураһында ғилемдәр үҫеш алалар.

== Билдәләмә ==
<math> F </math> [[ялан (алгебра)|яланында]] '''һыҙыҡлы''', йәки '''векторлы арауыҡ''' <math>V \left( F \right) </math> — тәртипкә килтерелгән дүртлек ул <math> (V,F,+,\cdot)</math>, бында
* <math> V</math> — '''векторҙар''' тип аталған ирекле тәбиғәтле элементтарҙың [[буш булмаған күмәклеге]];
* <math> F </math> — элементтары '''скалярҙар''' тип аталған [[ялан (алгебра)|ялан]];
* Векторҙарҙы '''ҡушыу''' операцияһы билдәләнә <math>V\times V\to V </math>, ул <math>V</math> күмәклегенең һәр <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> элементтар парына <math> V</math> күмәклегенең, уларҙың '''суммаһы''' тип аталған һәм <math> \mathbf{x} + \mathbf{y}</math> тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуя;
* '''Векторҙарҙы скалярҙарға ҡабатлау''' операцияһы билдәләнә <math>F\times V\to V </math>, ул <math>F</math> яланының һәр <math>\lambda</math> элементына һәм <math>V</math> күмәклегенең һәр <math>\mathbf{x}</math> элементына <math>V</math> күмәклегенең, <math> \lambda\cdot \mathbf{x}</math> йәки <math> \lambda\mathbf{x}</math> тип тамғаланған берҙән бер элементын ярашлы ҡуя;
шуның менән бергә бирелгән [[Операция (математика)|операциялар]] артабанғы аксиомаларҙы — һыҙыҡлы (векторлы) арауыҡ аксиомаларын ҡәнәғәтләндерә:
# теләһә ниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V</math> өсөн <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math> (''ҡушыуҙың коммутативлығы'');
# теләһә ниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V</math> өсөн <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math> (''ҡушыуҙың ассоциативлығы'');
# '''нуль вектор''' йәки ябай ғына <math>V</math> арауығының '''нуле''' тип аталған шундай элемент <math>\mathbf{0} \in V</math> бар, теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн <math>\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{x} = \mathbf{x}</math> тигеҙлеге үтәлә (''ҡушыуға ҡарата нейтраль элементтың булыуы'');
# теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> векторы өсөн, <math>\mathbf{x}</math> векторына '''ҡапма-ҡаршы''' вектор тип аталған, шундай <math>-\mathbf{x} \in V</math> элементы бар, бында <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> тигеҙлеге үтәлә;
# <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (''скалярға ҡабатлауҙың ассоциативлығы'');
# <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (''унитарлыҡ: F яланының нейтраль (ҡабатлау буйынса) элементына ҡабатлау векторҙы һаҡлай'').
# <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (''скалярҙарҙың суммаһына ҡарата векторҙы скалярға ҡабатлауҙың дистрибутивлығы'');
# <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(''векторҙарҙы ҡушыуға ҡарата векторҙы скалярға ҡабатлауҙың дистрибутивлығы'').
Шулай итеп, ҡушыу ғәмәле <math> V</math> күмәклегендә (аддитив) [[Абель төркөмө]] структураһын бирә.

Бер үк элементтар күмәклегендә, ләкин төрлө яландарҙа бирелгән векторлы арауыҡтар, төрлө векторлы арауыҡтар булалар (мәҫәлән, ысын һандар пары күмәклеге <math>\mathbb{R}^2</math> [[ысын һан]]дар яланында ике үлсәмле векторлы арауыҡ йәки [[комплекслы һан]]дар яланында бер үлсәмле булырға мөмкин).

== Иң ябай үҙсәнлектәре ==
# Векторлы арауыҡ ҡушыу буйынса [[Абель төркөмө]] була.
# Нейтраль элемент <math>\mathbf{0} \in V</math> берҙән бер,был төркөмдәр үҙсәнлегенән килеп сыға.
# Теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн <math> 0\cdot\mathbf{x} = \mathbf{0} </math>.
# Теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн ҡапма-ҡаршы элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math> берҙән бер,был төркөмдәр үҙсәнлегенән килеп сыға.
# Теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> .
# Теләһә ниндәй <math>\alpha \in F</math> һәм <math>\mathbf{x} \in V</math> өсөн <math>(-\alpha)\cdot\mathbf{x} = \alpha\cdot(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})</math>.
# Теләһә ниндәй <math>\alpha \in F</math> өсөн <math> \alpha\cdot \mathbf{0}  = \mathbf{0}</math>.

== Бәйле билдәләмәләр һәм үҙсәнлектәр ==

=== Аҫарауыҡ ===
Алгебраик билдәләмә:
'''Һыҙыҡлы аҫарауыҡ''' йәки '''векторлы аҫарауыҡ''' ― <math>V</math> һыҙыҡлы арауығының шундай буш булмаған <math>K</math> аҫарауығы, бында <math>K</math> <math>V</math>-та билдәләнгән ҡушыу һәм скалярға ҡабатлау операцияларына ҡарата үҙе арауыҡ булып тора. Бөтә аҫарауыҡтар күмәклеге ғәҙәттә <math>\mathrm{Lat}(V)</math> тип тамғалана. Аҫкүмәклек аҫарауыҡ булһын өсөн түбәндәге шарттарҙың үтәлеүе кәрәк һәм етерлек:
# һәр <math>\mathbf{x}\in K</math> векторы өсөн <math>\alpha\in F</math>-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә <math>\alpha\mathbf{x}</math> векторы ла <math>K</math>-ға инә;
# теләһә ниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> векторҙары өсөн <math>\mathbf{x}+\mathbf{y}</math> векторы шулай уҡ <math>K</math>-ға инә.
Һуңғы ике раҫлау түбәндәге раҫлауға эквивалентлы:
: теләһә ниндәй <math>\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K</math> векторҙары өсөн <math>\alpha, \beta \in F</math>-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә <math>\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}</math> векторы шулай уҡ <math>K</math>-ға инә.
Атап әйткәндә, тик бер нуль векторҙан торған векторлы арауыҡ, теләһә ниндәй арауыҡтың аҫарауығы була; теләһә ниндәй арауыҡ үҙенең аҫарауығы була. Был ике аҫарауыҡ менән тап килмәгән  аҫарауыҡтар ''үҙ'' йәки ''тривиаль булмаған'' аҫарауыҡтар тип аталалар.

==== Аҫарауыҡтарҙың үҙсәнлектәре ====
* Теләһә ниндәй аҫарауыҡтар ғаиләһе киҫелеше — яңынан аҫарауыҡ;
* <math>\{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\}</math> аҫарауыҡтарының суммаһы <math>K_i</math>-ҙың бөтә мөмкин булған элементтар суммаһынан торған күмәклек булараҡ билдәләнә:
*: <math>\sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}</math>.
** Аҫарауыҡтарҙың сикле ғаиләләре суммаһы — яңынан аҫарауыҡ.

=== Һыҙыҡлы комбинациялар ===

: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math> күренешендәге сикле сумма <math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in V</math> элементтарының <math>\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in F</math> коэффициенттары менән '''[[Һыҙыҡлы комбинация|һыҙыҡлы комбинацияһы]]''' тип атала{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=8}} .

Ысынбарлыҡта был билдәләмә (һәм түбәндә килтерелгән) векторҙар комбинацияларына ғына түгел, ә шундай суммаларҙың мәғәнәһе булған теләһә ниндәй башҡа объекттарҙың комбинацияларына ҡулланыла ала (мәҫәлән, [[аффинлы арауыҡ|аффинлы арауыҡтың]] нөктәләр комбинацияларына).

Һыҙыҡлы комбинация атала:
* '''тривиаль булмаған''' тип, әгәр уның коэффициенттарының береһе булһа ла нулдән айырмалы булһа.
* '''барицентрик''' тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=198}},
* '''ҡабарынҡы''' тип, әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 1-гә тигеҙ булһа һәм бөтә коэффициенттар тиҫкәре булмаһа,
* '''баланслы''', әгәр уның коэффициенттарының суммаһы 0-гә тигеҙ булһа.

=== Базис. Үлсәнеш ===
<math>\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n</math> векторҙары {{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=16}} '''һыҙыҡлы бәйле''' тип аталалар, әгәр уларҙың нулгә тигеҙ булған тривиаль булмаған һыҙыҡлы комбинацияһы булһа:
: <math>\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n = \mathbf{0}, \quad \ |\alpha_1| + |\alpha_2| + \ldots + |\alpha_n| \neq 0.</math>
Кире осраҡта был векторҙар '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип аталалар.

Был билдәләмә шундай дөйөмләштереүҙе рөхсәт итә: <math>V</math> арауығынан векторҙарҙың сикһеҙ күмәклеге '''һыҙыҡлы бәйле''' тип атала, әгәр уның ниндәйҙер ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйле булһа, һәм '''һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ''' тип атала, әгәр уның теләһә ниндәй ''сикле'' аҫкүмәклеге һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ булһа.

Векторлы арауыҡтың максималь һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтар күмәклегенең элементтары һаны ([[Күмәклектең ҡеүәте|ҡеүәте]]){{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=14}} был күмәклекте һайлауға бәйле түгел икәнен күрһәтергә мөмкин. Был һан арауыҡтың '''рангы''', йәки '''үлсәнеше''' тип атала, ә был күмәклек үҙе — '''[[базис]]''' (''Га́мель базисы'' йәки ''һыҙыҡлы базис'') тип атала. Базистың элементытарын '''базислы векторҙар''' тип атайҙар. Арауыҡтың үлсәнеше йыш ҡына <math>{\rm dim}</math> символы менән тамғалана.

Шулай итеп, векторлы арауыҡтың үлсәме йә тиҫкәре булмаған бөтөн һан була (айырым алғанда, нулгә тигеҙ, әгәр арауыҡ бер генә  нуль векторҙан торһа), йәки сикһеҙлек була (теүәлерәк әйткәндә, сикһеҙ күмәклектең ҡеүәте). Беренсе осраҡта векторлы арауыҡ ''сикле үлсәмле'', ә икенсе осраҡта — ''сикһеҙ үлсәмле'' була (мәҫәлән, [[өҙлөкһөҙ функциялар арауығы]] сикһеҙ үлсәмле була). Традиция булараҡ, сикле үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы һәм [[Һыҙыҡлы сағылыш|уларҙың сағылыштарын]] өйрәнеү [[Һыҙыҡлы алгебра|һыҙыҡлы алгебраға]] ҡарай, ә сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡтарҙы өйрәнеү — [[Функциональ анализ|функциональ анализға]] ҡарай. Икенсе осраҡта бирелгән элементтың бирелгән сикһеҙ функциялар системаһы буйынса тарҡалыусанлығы мәсьәләһе һиҙелерлек роль уйнай, йәғни ярашлы сикһеҙ суммаларҙың [[Эҙмә-эҙлелек сикләмәһе|йыйылыусанлығы]], бының өсөн сикһеҙ үлсәмле векторлы арауыҡ йыйылыусанлыҡты билдәләргә мөмкинлек биреүсе өҫтәлмә структура менән бергә ҡарала, мәҫәлән, [[Метрик арауыҡ|метрика]] йәки [[Топологик арауыҡ|топология]] менән.

Базис үҙсәнлектәре:
* <math>n</math>-үлсәмле арауыҡтың теләһә ниндәй <math>n</math> һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ элементтары был арауыҡтың ''базисын'' төҙөй.
* Теләһә ниндәй <math>\mathbf{x} \in V</math> векторын (берҙән бер рәүештә) базислы элементтарҙың сикле һыҙыҡлы комбинацияһы күренешендә күрһәтергә мөмкин:

:: <math>\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n</math>.

=== Һыҙыҡлы көплөк ===
<math>V</math> һыҙыҡлы арауығының <math>X</math> аҫкүмәклегенең <math>\mathcal V(X)</math> '''һыҙыҡлы көплөгө'''   — <math>V</math> һыҙыҡлы арауығының <math>X</math> ингән бөтә аҫарауыҡтарының киҫелеше.

Һыҙыҡлы көплөк <math>V</math> һыҙыҡлы арауығының аҫарауығы була.

Һыҙыҡлы көплөк шулай уҡ <math>X</math> '''барлыҡҡа килтергән аҫарауығы''' тип атала. Шулай уҡ, <math>\mathcal V(X)</math> һыҙыҡлы көплөгө — <math>X</math> күмәклегенә '''ябындырылған''' арауыҡ тип тә әйтәләр.

<math>\mathcal V(X)</math> һыҙыҡлы көплөгө <math>X</math>-тан алынған элементтарҙың төрлө сикле аҫсистемаларының бөтә мөмкин булған һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Айырым алғанда, әгәр <math>X</math> — сикле күмәклек булһа, ул саҡта <math>\mathcal V(X)</math> <math>X</math>-тың элементтарының бөтә һыҙыҡлы комбинацияларынан тора. Шулай итеп, нуль вектор һәр ваҡыт һыҙыҡлы көплөккә инә.

Әгәр <math>X</math> — һыҙыҡлы бәйләнешһеҙ күмәклек булһа, ул саҡта ул базис <math>\mathcal V(X)</math> була һәм шуның менән уның үлсәмен билдәләй.

== Миҫалдар ==
* Нуль арауыҡ, уның берҙән бер элементы ноль.
* Бөтә функциялар арауығы <math>X\to F</math> сикле  вәкилдәре менән <math>X</math>-тың [[Күмәклек ҡеүәте|ҡеүәтенә]] тигеҙ булған үлсәмле векторлы арауыҡ төҙөй.
* [[Ысын һан|Ысын һандар]] [[Ялан (алгебра)|яланы]] [[рациональ һан|рациональ һандар]] яланында [[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуаль]]-үлсәмле векторлы арауыҡ кеүек ҡаралырға мөмкин.
* Теләһә ниндәй ялан үҙе өҫтөндә бер үлсәмле арауыҡ булып тора.
* [[Матрица (математика)|Матрицалар]] һәм [[тензор]]ҙар арауыҡтары һыҙыҡлы арауыҡтар төҙөйҙәр.

== Өҫтәлмә структуралар ==
* [[Нормалаштырылған векторлы арауыҡ]]
* [[Метрическое векторлы арауыҡ]]
* [[Топологик векторлы арауыҡ]]
* [[Евклид арауығы]]
* [[Минковский арауығы]]
* [[Гильберт арауығы]]

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Аффинлы арауыҡ]]
* [[Ҡабарынҡы функционал]]
* [[Сикле үлсәмле арауыҡ]]
* [[Һыҙыҡлы бәйһеҙлек]]
* [[Һыҙыҡлы сағылыш]]
* [[Ҡулса өҫтөндә модуль]]
* [[Тура сумма]]
* [[Эйәртеүле арауыҡ]]
* [[Флаг (математика)|Флаг]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* {{книга
 |автор         = [[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]] 
 |заглавие      = Лекции по линейной алгебре
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 5-е
 |место         = М.
 |издательство  =  Добросвет, [[МЦНМО]]
 |год           = 1998 
 |страниц       = 319 
 |тираж         = 
 |isbn          = 5-7913-0015-8
 |ref           = Гельфанд 
}}
* {{книга|автор=Гельфанд И. М.&nbsp;|заглавие=Лекции по линейной алгебре. 5-е изд|место=М.|издательство=Добросвет, МЦНМО| год=1998|страниц=320|isbn=5-7913-0016-6|ref=Гельфанд}}
* {{книга
 |автор         = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]], [[Манин, Юрий Иванович|Манин Ю. И.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд
 |издание       = 
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 304
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кострикин, Манин
}}
* {{книга
 |автор         = [[Кострикин, Алексей Иванович|Кострикин А. И.]]
 |заглавие      = Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра
 |издание       = 3-е
 |место         = М. 
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]].
 |год           = 2004
 |страниц       = 368
 |серия         = Университетский учебник
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Кострикин-2
}}
* {{книга
 |автор         = [[Мальцев, Анатолий Иванович|Мальцев А. И.]] 
 |заглавие      = Основы линейной алгебры
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 3-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1970
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Мальцев
}}

* {{книга
 |автор         = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]] 
 |заглавие      = Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II)
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |издание       = 2-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Наука (издательство)|Наука]]
 |год           = 1986
 |страниц       = 400
 |тираж         = 
 |isbn          = 
 |ref           = Постников
}}
* {{книга
 |автор         = Стренг Г.
 |заглавие      = Линейная алгебра и её применения
 |оригинал      = Linear Algebra and Its Applications
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 |год           = 1980
 |страниц       = 454
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Стренг
}}
* {{книга|автор=Ильин В. А., Позняк Э. Г.&nbsp;|заглавие=Линейная алгебра. 6-е изд|место=М.|издательство=Физматлит|год=2010|страниц=280|isbn = 978-5-9221-0481-4|ref = Ильин, Позняк}}
* {{книга
 |автор         = [[Халмош, Пол Ричард|Халмош П.]]
 |заглавие      = Конечномерные векторные пространства
 |оригинал      = Finite-Dimensional Vector Spaces
 |издание       = 
 |место         = М.
 |издательство  = [[Физматгиз]]
 |год           = 1963
 |страниц       = 263
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Халмош
}}
* {{книга
 |автор         = [[Фаддеев, Дмитрий Константинович|Фаддеев Д. К.]] 
 |заглавие      = Лекции по алгебре
 |издание       = 5-е
 |место         = СПб.
 |издательство  = [[Лань (издательство)|Лань]]
 |год           = 2007
 |страниц       = 416
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Фаддеев 
}}
* {{книга
 |автор         = [[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О. 
 |заглавие      = Линейная алгебра и геометрия
 |издание       = 1-е
 |место         = М.
 |издательство  = [[Физматлит]]
 |год           = 2009
 |страниц       = 511
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Шафаревич
}}
* {{книга
 |автор         = Шрейер О., Шпернер Г.
 |заглавие      = Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении 
 |оригинал      = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra
 |издание       = 
 |ответственный = Ольшанский Г. (перевод с немецкого) 
 |место         = М.–Л.
 |издательство  = [[Физматлит|ОНТИ]]
 |год           = 1934
 |страниц       = 210
 |серия         = 
 |isbn          = 
 |тираж         = 
 |ref           = Шрейер, Шпернер
}}

{{Векторы и матрицы}}

[[Категория:Һыҙыҡлы алгебра]]
[[Категория:Векторҙар]]