Функция (математика) битенең сығанаҡ тексын ҡарарға

{{другие значения|функция}}
{{redirect|Отображение}}
[[Файл:Graph of example function.svg|thumb|250px|<br> <math>\begin{align}&\scriptstyle  \\ &\textstyle f(x) = \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}</math> функцияһының графигы.]]
'''Фу́нкция''' ('''сағылыш ''', '''опера́тор''', '''үҙгәреш''') — [[математика]]ла, ике [[күмәклек]]тең элементтары араһында, бер күмәклектең һәр элементына икенсе күмәклектең ниндәйҙер элементы ярашлы ҡуйыла тигән ҡағиҙә буйынса урынлаштырылған ярашлылыҡ.

Функцияның математик төшөнсәһе, нисек бер [[Дәүмәл (математика)|дәүмәл]] тулыһынса икенсе дәүмәлдең ҡиммәтен билдәләй икәнен интуитив күҙаллауҙы кәүҙәләндерә. Шулай, <math>x</math> [[Үҙгәреүсән дәүмәл|үҙгәреүсәненең]] ҡиммәте <math>x^2</math> аңлатмаһының ҡиммәтен бер мәғәнәле билдәләй, ә [[ай]]ҙың ҡиммәте артабанғы айҙың ҡиммәтен бер мәғәнәле билдәләй.
Ошоға оҡшаш рәүештә, алдан уйланылған [[алгоритм]] инә торған бирелгән дәүмәлдең ҡиммәте буйынса сыға торған дәүмәлдең ҡиммәтен бирә.

Йыш ҡына «функция» термины аҫтында [[һанлы функция]]ны, йәғни бер һандарҙы икенселәренә ярашлы ҡуя торған функцияны аңлайҙар. Был функцияларҙы [[Функцияның графигы|графиктар]] рәүешендә күрһәтеү уңайлы.

== Тарихы ==
«Функция» термины (бер ни тиклем тарыраҡ мәғәнәлә) беренсе тапҡыр [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Лейбниц]] тарафынан (1692 йыл) ҡулланылған була. Үҙ сиратында, [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]] шул уҡ Лейбницҡа хатында был терминды хәҙергеһенә яҡын мәғәнәлә ҡуллана<ref name="zorich">{{книга
|автор = [[Зорич, Владимир Антонович|{{nobr|В. А. Зорич}}]]|часть = Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция|заглавие = Математический анализ. Часть I|ссылка = |ответственный = |издание = четвертое, исправленное|место = М.|издательство = МЦНМО|год = 2002|том = |страницы = 13, 22, 25, 31|страниц = 664|isbn = 5-94057-056-9}}</ref><ref name="Kol">''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Абрамов, Александр Михайлович (математик)|Абрамов А. М.]], Дудницын Ю. П.'' Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6. — C. 86-87</ref>.

Иң башта функция төшөнсәһе аналитик күҙаллау төшөнсәһенән айырылмаҫлыҡ була. Аҙаҡтан функцияның [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] (1751 йыл), унан һуң — [[Лакруа, Сильвестр Франсуа|Лакруа]] (1806 йыл) биргән, хәҙерге күренештәге тиерлек билдәләмәһе барлыҡҡа килә. Ахырҙа, функцияның дөйөм билдәләмәһе (хәҙерге формала, ләкин һанлы функциялар өсөн) [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] (1834 йыл) һәм [[Лежён-Дирихле, Петер Густав|Дирихле]] (1837 йыл) тарафынан бирелә<ref name="shylov">{{книга
|автор        = [[Шилов, Георгий Евгеньевич|{{nobr|Г. Е. Шилов}}]]
|часть = Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График
|заглавие = Математический анализ (функции одного переменного)
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1969
|том =
|страницы = 69
|страниц = 528
|isbn =
}}</ref>.

XIX быуат аҙағына функция төшөнсәһе һанлы системалар сиген үтеп китә. Иң башта функция төшөнсәһе [[вектор-функция|векторлы функцияларға]] киңәйтелә, оҙаҡламай [[Фреге, Фридрих Людвиг Готлоб|Фреге]] логик функциялар ([[1879]]) индерә, ә [[күмәклектәр теорияһы]] барлыҡҡа килгәндән һуң [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинд]] ([[1887]]) һәм [[Пеано, Джузеппе|Пеано]] ([[1911]]) хәҙерге универсаль билдәләмәне бирәләр<ref name="Kol" />.

== Билдәләмәләр ==
[[Файл:Function color example 3.svg|right|thumb|160 px|Дүрт фигураның һәр береһенә уның төҫөн ярашлы ҡуйыусы функция.]]
Функцияның теоретик-күмәклек билдәләмәһе ([[бинар бәйләнеш]] төшөнсәһе нигеҙендә) иң ҡәтғи билдәләмә булып тора. Йыш ҡына функция билдәләмәһе урынына функция төшөнсәһе, йәғни математик объектты «закон», «ҡағиҙә» йәки «ярашлыҡ» кеүек ғәҙәттәге тел төшөнсәләре ярҙамында һүрәтләү ҡулланыла.

=== Функция төшөнсәһе ===
Әгәр <math>X</math> күмәклегенең һәр <math>x</math> элементына <math>f</math> ҡағиҙәһе буйынса <math>Y</math> күмәклегенең ниндәйҙер <math>y</math> элементы ярашлы ҡуйылһа, <math>X</math> күмәклегендә ҡиммәттәре <math>Y</math> күмәклегенән булған <math>f</math> '''функцияһы''' ('''''сағылыш, операция, оператор''''') бар тип әйтәләр<ref name="zorich" />.

Шулай уҡ, <math>f</math> функцияһы <math>X</math> күмәклеген <math>Y</math> күмәклегенә ''сағылдыра'' тип әйтәләр. Функцияны шулай уҡ <math>y=f(x)</math> яҙылышы менән тамғалайҙар.

Әгәр ''[[Оператор (математика)|оператор]]'' термины ҡулланылһа, ул саҡта <math>f</math> операторы <math>X</math> күмәклегенән <math>Y</math> күмәклегенә ''хәрәкәт итә'' тип әйтәләр һәм <math>y=fx</math> яҙыуын өҫтәйҙәр.

Әгәр <math>f</math> ярашлыҡ ҡағиҙәһе билдәле тип һанала тигәнде белдерергә теләһәләр, ул саҡта <math>X</math> күмәклегендә <math>Y</math> күмәклегенән ҡиммәттәр ҡабул итеүсе <math>f</math> функцияһы ''бирелгән'' тип әйтәләр. Әгәр <math>f</math> функцияһы ниндәйҙер тигеҙләмә сисеү һөҙөмтәһендә табылырға тейеш булһа, ул саҡта <math>f</math> — билдәһеҙ йәки асыҡтан-асыҡ бирелмәгән функция тип әйтәләр. Ләкин һәр осраҡта ла, функция, был төшөнсәнең мәғәнәһе буйынса, туранан-тура булмаһа ла, бирелгән тип һанала.
Әгәр <math>x\in X</math> элементына <math>y\in Y</math> элементы ярашлы ҡуйылһа, шуның менән <math>x</math> элементында <math>f</math> ярашлығы ҡағиҙәһе бирелгән тип әйтәләр (ул төрлө элементтар өсөн төрлө булырға мөмкин). Ошонан сығып, <math>X</math> күмәклегенең һәр элементында ярашлыҡты биреү был күмәклектә <math>f</math> функцияһын биреүгә тиңдәш. Шуға күрә функция төшөнсәһен ''ҡағиҙә'' төшөнсәһенән башҡа һәм уны тамғаламай әйтеп бирергә мөмкин:

Әгәр <math>X</math> күмәклегенең һәр <math>x</math> элементына <math>Y</math> күмәклегенең ниндәйҙер <math>y</math> элементы ярашлы ҡуйылһа, <math>X</math> күмәклегендә <math>Y</math> күмәклегенән ҡиммәттәр ҡабул итеүсе <math>f</math> '''функцияһы''' бирелгән тип әйтәләр<ref name="кол">{{книга
|автор        = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|{{nobr|А. Н. Колмогоров}}]], [[Фомин, Сергей Васильевич|{{nobr|С. В. Фомин}}]].
|часть = Глава 1. Элементы теории множеств
|заглавие = Элементы теории функций и функционального анализа
|ссылка =
|ответственный=
|издание = {{nobr|3-е изд}}
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1972
|том =
|страницы = 14—18
|страниц = 496
|isbn =
}}</ref>.

Мәҫәлән, <math>X</math> күмәклегендә <math>x</math> һәм <math>y</math> элементтары парҙары таблицаһы менән бирелгән функция, <math>X</math> күмәклегенең һәр элементы өсөн ярашлыҡ ҡағиҙәһен дә үҙ эсенә алған, сөнки <math>X</math> күмәклегенең элементынан элементына күскәндә, функцияның ҡиммәттәре билдәле бер ҡағиҙә буйынса урынлашалар.

Йыш ҡына формулалар менән бирелгән һанлы функциялар өсөн, функция төшөнсәһе ҡағиҙә аша күмәклектәр элементтары араһында ярашлыҡ һымаҡ әйтеп бирелә. Ҡағиҙә һәм функция тамғаланыштары тап килеүен булдырмаҫ өсөн, ҡағиҙә тамғаланмай:

Әгәр <math>X</math> күмәклегенең һәр <math>x</math> элементына ниндәйҙер ҡағиҙә буйынса <math>Y</math> күмәклегенең ниндәйҙер <math>y</math> элементы ярашлы ҡуйылһа, ул саҡта был ярашлыҡ <math>X</math> күмәклегендә бирелгән, ҡиммәттәре <math>Y</math> күмәклегенән булған <math>y=f(x)</math> '''функцияһы''' тип атала<ref name="shylov" /><ref name="ilyin">{{книга
|автор        = [[Ильин, Владимир Александрович (математик)|{{nobr|В. А. Ильин}}]], [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]], [[Сендов, Благовест|{{nobr|Бл. Х. Сендов}}]].
|часть = Глава 3. Теория пределов
|заглавие = Математический анализ
|ссылка = http://sci-lib.com/book000401.html
|ответственный= {{nobr|Под ред. [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонова]]}}
|издание = {{nobr|3-е изд.}}, перераб. и доп
|место = М.
|издательство = Проспект
|год = 2006
|том = 1
|страницы = 105—121
|страниц = 672
|isbn = 5-482-00445-7
}}</ref>. <math>f</math> хәрефе был тамғаланышта — функцияның индивидуаль тамғаһы.

Шулай итеп, <math>y=f(x)</math> '''функцияһы''' (йәки ҡыҫҡаса: <math>f(x)</math> йәки <math>f</math> '''функцияһы''') '''''өс''''' объекттан тора: <math>X,f,Y</math>, бында
* <math>X</math> күмәклеге '''[[Функцияның билдәләнеү өлкәһе|билдәләнеү өлкәһе]]''' йәки функцияның '''[[Функцияның билдәләнеү өлкәһе|билдәләнеү өлкәһе]]''' тип атала;
* <math>Y</math> күмәклеге функцияның '''[[Функцияның ҡиммәттәре өлкәһе|ҡиммәттәре өлкәһе]]''' тип атала;
* <math>f</math> — һәр <math>x\in X</math> элементына ниндәйҙер <math>y\in Y</math> элементын ярашлы ҡуйған ҡағиҙә. Бында ҡағиҙә өсөн шул уҡ функция тамғаланышы ҡулланылған.
<math>x</math> хәрефе менән тамғаланған <math>X</math> күмәклегенең һәр элементы функцияның '''''бәйләнешһеҙ''''' '''''[[Үҙгәреүсән дәүмәл|үҙгәреүсәне]]''''' йәки '''''аргументы''''' тип атала. Шуның менән бергә <math>X</math> күмәклеге <math>x</math> үҙгәреүсәненең үҙгәреү өлкәһе тип атала.

Беркетелгән <math>x</math> элементына ярашлы <math>y</math> элементы функцияның <math>x</math> нөктәһендәге '''''шәхси ҡиммәте''''' тип атала.

<math>\{y\}</math> символы менән тамғаланған бөтә <math>y</math> шәхси ҡиммәттәр йыйылмаһы функцияның '''''[[Функцияның ҡиммәттәре өлкәһе|ҡиммәттәре өлкәһе]]''''' тип атала.

=== Теоретик-күмәклек билдәләмәһе ===
[[Пар (математика)|Тәртипкә килтерелгән парҙар]] ([[Бинар бәйләнеш|бәйләнеш]]) төшөнсәһе функция төшөнсәһе формулировкаһынан, бынан алдағы бүлектең ғәҙәттәге формулировкаларында функция төшөнсәһе ҡайтып ҡалған ''ҡағиҙә'' төшөнсәһен генә түгел, ''ярашлыҡ'' төшөнсәһен дә төшөрөп ҡалдырырға мөмкинлек бирә.

Шулай итеп, функция өсөн тик башланғыс математик төшөнсәләр генә ҡулланыусы билдәләмә бирергә мөмкин:

: <math>f</math> функцияһы тип тәртипкә килтерелгән шундай <math>(x,y)\in X\times Y</math> парҙары күмәклеге атала, бындай парҙар <math>X</math> күмәклегенең бөтә элементтары өсөн дә бар, һәм, әгәр парҙарҙың беренсе элементтары тап килһә, ул саҡта уларҙың икенсе элементтары ла тап килә<ref name="zorich" />.

Шуның менән бергә:
* <math>X</math> күмәклеге функцияның '''бирелеү өлкәһе''' йәки '''билдәләнеү өлкәһе''' тип атала;
* <math>Y</math> күмәклеге функцияның '''ҡиммәттәре өлкәһе''' тип атала.
* Улар өсөн <math>(x,y)\in f</math>, <math>x\in X</math> парҙары булған бөтә <math>y\in Y</math> элементтары күмәклеге функцияның ''' ҡиммәттәре күмәклеге''' тип атала;
* <math>f\subset X\times Y</math> тәртипкә килтерелгән парҙар күмәклеге шулай уҡ [[функцияның графигы]] тип атала; функцияның графигы төшөнсәһе һәм функция төшөнсәһе был билдәләмәлә тап килә. Функция төшөнсәһенең ғәҙәттәге формулировкаһында уның графигы тип <math>(x,f(x))</math> парҙары күмәклеге атала.
<math>f</math> һәм <math>g</math> функциялары, әгәр уларҙың графиктары тап килһә, тигеҙ тип аталалар<ref name="sadov">{{книга
|автор        = [[Садовничий, Виктор Антонович|{{nobr|В. А. Садовничий}}]]
|часть = 
|заглавие = Теория операторов
|ссылка =
|ответственный=
|издание =
|место = М.
|издательство = Дрофа
|год = 2001
|том =
|страницы = 241
|страниц = 381
|isbn = 5-71-074297-X
}}</ref>.

Функцияларҙың тигеҙлеге (функция төшөнсәһенең теләһә ниндәй формулировкаһында) күмәклектәр элементтары араһында ярашлыҡ ҡағиҙәләренең тап килеүен генә түгел, ә билдәләнеү өлкәләренең тап килеүен дә талап иткәнлектән, <math>f_1(x) = x : \R \to \R</math> һәм <math>f_2(x) = x : \R^{+} \to \R</math> функциялары, бында <math>\R</math> — ысын һандар күмәклеге, ә <math>\R^{+}</math> — ыңғай ысын һандар күмәклеге, төрлө функциялар булып торалар.

Артабанғы билдәләмә функцияның дөйөмөрәк билдәләмәһе булып тора:

<math>f</math> функцияһы тип теләһә ниндәй тәртипкә килтерелгән <math>(x,y)\in X\times Y</math> парҙары күмәклеге атала.<ref name="zorich" />.

Шуның менән бергә:
* <math>X</math> күмәклеге функцияның '''билдәләнеү өлкәһе''' тип атала. Улар өсөн <math>(x,y)\in f</math> парҙары булған бөтә <math>x\in X</math> элементтары күмәклеге функцияның бирелеү өлкәһе тип атала;
* <math>Y</math> күмәклеге функцияның '''килеү өлкәһе''' тип атала. Улар өсөн <math>(x,y)\in f</math> парҙары булған бөтә <math>y\in Y</math> элементтары күмәклеге функцияның ҡиммәттәре өлкәһе тип атала.

== Функцияның тамғаланыштары ==
Әгәр <math>X</math> күмәклегендә <math>Y</math> күмәклегенән ҡиммәттәр алыусы <math>f</math> функцияһы бирелһә, ул саҡта
* был факт <math>f \colon X \to Y</math> йәки <math>X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y</math> күренешендә яҙыла;
* <math>X</math> күмәклеге — <math>f</math> функцияһының бирелеү өлкәһе — <math>D(f)</math> йәки <math>\mathrm{dom}\,f</math> символы менән тамғалана;
* <math>Y</math> күмәклеге — <math>f</math> функцияһының ҡиммәттәре өлкәһе<ref name="shylov" /> ;
* <math>f</math> функцияһының <math>\{y\}</math> ҡиммәттәре күмәклеге <math>E(f)</math> йәки <math>\mathrm{cod}\,f</math> (<math>\mathrm{ran}\,f</math>) символы менән тамғалана.
* Әгәр ҡиммәттәр өлкәһе <math>Y</math> һәм ҡиммәттәр күмәклеге <math>E(f)</math> тап килһә, <math>f</math> функцияһы <math>X</math> күмәклеген <math>Y</math> күмәклегенә ''сағылдыра'' тип әйтәләр.
* <math>X</math> күмәклегендә бирелгән функция йышыраҡ <math>x\in X</math> һәм <math>y\in Y</math> элементтары араһында ''ярашлыҡ'' һымаҡ ҡабул ителә:
*: <math>y=f(x)</math>, йәки ҡыҫҡаса:<math>f(x)</math> йәки <math>f</math>;
*: <math display="inline">x\mapsto y</math> йәки <math>x\mapsto f(x) </math>;
* тамғалауҙар һанын кәметеү өсөн, <math>X</math> күмәклегендә бирелгән функция, функцияның һәр ҡиммәте кеүек үк хәреф менән тамғалана ала:
*: <math>y=y(x)</math>, <math>z=z(x)</math>;
* функция, <math>X</math> күмәклеген <math>Y</math> күмәклегенә ''сағылдырыусы'' <math>f</math> ''функцияһы'' кеүек, <math>x\in X</math> һәм <math>y\in Y</math> элементтары араһында ярашлыҡ тамғаһы менән дә тамғалана:
*: <math>f\colon x\mapsto y</math> йәки <math>f\colon y=f(x)</math>;
* һирәгерәк функцияның <math>x\in X</math> һәм <math>y\in Y</math> элементтары араһында ярашлыҡ һымаҡ йәйәһеҙ тамғаланышы ҡулланыла: <math>y=fx</math>, <math>y=f\circ x</math> или <math>y=xf</math>,
* ике төрлөлөктө айырып әйтеү кәрәк булғанда, йәйәле тамғаланыш ҡулланыла: <math>y=(f,x)</math> йәки <math>y=(x,f)</math>;
* шулай уҡ операторлы тамғалау бар <math>y=x^f</math>, уны [[Абстрактлы алгебра|дөйөм алгебрала]] осратырға мөмкин.
* Чёрчтың [[лямбда-иҫәпләү]]ендә <math>\lambda x.y</math> тамғалауы ҡулланыла.

=== Бер нисә аргумент функциялары ===
[[Файл:Sinx-Sin2y.png|thumb|Ике үҙгәреүсәнле <math>f(x, y) = \sin(x - \sin(2 y))</math> функцияһы графигы]]

Күп аргументлы функция осрағында функция төшөнсәһе еңел дөйөмләштерелә.

Әгәр <math>X</math> күмәклеге <math>X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n</math> күмәклектәренең [[Тура ҡабатлау|декарт ҡабатлауы]] булһа, ул саҡта <math>f\colon X\to Y</math> сағылышы, бында <math>Y</math> — ысын һандар күмәклеге, <math>n</math>-урынлы сағылыш була, шуның менән бергә <math>x=(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> тәртипкә килтерелгән йыйылма элементтары аргументтар тип аталалар (бирелгән <math>n</math>-урынлы функцияның), уларҙың һәр береһе үҙенең күмәклеген йөрөп сыға:
: <math>x_i\in X_i</math> бында <math>i=\overline{1,n}</math>.
Был осраҡта <math>y=f(x)</math> яҙыуы <math>y=f(x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n)</math> тигәнде аңлата.

== Функцияны биреү ысулдары ==
<!---[[Файл:Example.jpg]]-->

=== Аналитик ысул ===
Функцияны аналитик аңлатма ярҙамында бирергә мөмкин (мәҫәлән, формула менән). Был осраҡта уны ярашлыҡ һымаҡ <math>y=f(x)</math> тигеҙлеге менән тамғалайҙар, бында <math>x</math> функцияның бирелеү өлкәһен урап сығыусы үҙгәреүсән, ә <math>y</math> үҙгәреүсәненең ярашлы ҡиммәттәре (йәки, шул уҡ, {{S|<math>f(x)</math>}} аңлатмаһының ҡиммәттәре) функцияның ҡиммәттәре өлкәһенә керәләр. Мәҫәлән, <math>y = x^2</math> тигеҙлеге, бында <math>x</math> ысын һандар күмәклеген урап сыға, <math>y=f(x).\;</math> һанлы функцияһын бирә;

Ниндәйҙер күмәклектә бирелгән <math>y=f(x)</math> тигеҙлеге үҙе генә, уның функция икәнлеген күрһәтмәйенсә, функция булып тормай.

Мәҫәлән, <math>y = x^2 </math> тигеҙлеге, төрлө үҙгәреүсәндәр ингән аңлатмалар тигеҙлеге. Ошоға оҡшаш рәүештә, әгәр <math>f(x)</math> <math>y</math> үҙгәреүсәненең икенсе тамғаланышы булһа, ул саҡта <math>f(x) = x^2 </math> шулай уҡ төрлө үҙгәреүсәндәр ингән аңлатмалар тигеҙлеге булып тора. Әгәр <math>f(x) = x^2 </math> тигеҙлегендә һул яҡтан <math>x</math> үҙгәреүсәне ингән аңлатма тамғаһы торһа, ул саҡта бер үҙгәреүсән ингән ике аңлатма тигеҙлеге була.

Ләкин бирелеү күмәклегендә <math>y = x^2 \;</math> ''функцияһы'' (йәки <math>f(x) = x^2 </math> ''функцияһы'') тип әйтеү тик функцияны аңлата. Улай ғына түгел, йыш ҡына <math> x\mapsto f(x)</math> (йәки <math>y=f(x) \;</math>) функцияһын, ҡыҫҡартыу өсөн, бирелеү күмәклегендә <math>f(x)</math> ''функцияһы'' тип тамғалайҙар. Был килешеү уңайлы һәм үҙен аҡлай.

=== График ысул ===
[[Файл:Xto3minus3x.svg|мини|<math>f(x)=x^3-3x</math> функцияһының графигы]]
{{main|Функцияның графигы}}
Һанлы функцияларҙы шулай уҡ график ярҙамында бирергә мөмкин. <math>y = f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \;</math> — n үҙгәреүсәнле ысын функция булһын, ти.
Ул саҡта уның графигы булып <math>n+1</math>-үлсәмле арауыҡта <math>\{(x_1, x_2, \ldots , x_n, f(x_1, x_2, \ldots , x_n) \}</math> нөктәләре күмәклеге тора.
Был нөктәләр күмәклеге йыш ҡына [[йөҙ]] булып тора.

Айырым осраҡта <math>n=1</math> булғанда, функцияның графигы, ҡайһы бер осраҡта, ике үлсәмле арауыҡта [[кәкере һыҙыҡ]] рәүешендә һүрәтләнергә мөмкин.

Өс һәм унан күберәк аргументлы функциялар өсөн график һүрәтләүҙе ҡулланып булмай. Әммә, бындай функциялар өсөн дә күрһәтмәле ярым геометрик күҙаллауҙар уйлап табырға мөмкин (мәҫәлән нөктәнең дүртенсе координатаһының һәр ҡиммәтенә графикта ниндәйҙер төҫтө ярашлы ҡуйырға мөмкин).

== Бәйләнешле билдәләмәләр ==

=== Функцияны тарайтыу һәм һуҙыу ===
{{main|Функцияны тарайтыу һәм һуҙыу}}
<math>f\colon X\to Y</math> һәм <math>M\subset X</math> сағылышы бирелһен, ти.

<math>M</math> күмәклегендә <math>f</math> функцияһы кеүек үк ҡиммәттәр ҡабул иткән <math>g\colon M\to Y</math> сағылышы, <math>f</math> функцияһының <math>M</math> күмәклегенә '''тарайтыуы''' (йәки, икенсе төрлө '''сикләүе''') тип атала.

<math>f</math> функцияһын <math>M</math> күмәклегенә тарайтыу <math>f\big|_M</math> тип тамғалана.

Әгәр <math>g\colon M\to Y</math> функцияһы ниндәйҙер <math>f\colon X\to Y</math> функцияһы өсөн тарайтыу булып торһа, ул саҡта <math>f</math> функцияһы, үҙ сиратында, <math>g</math> функцияһының <math>X</math> күмәклегенә '''дауамы''' тип атала.

=== Образ һәм прообраз (сағылышта) ===
{{Якорь|Образ|Прообраз}} <math>x</math> элементына ярашлы ҡуйылған <math>y=f(x)</math> элементы, <math>x</math> элементының (нөктәһенең) (<math>f</math> сағылышында) '''образы''' тип атала.

Әгәр <math>f</math> функцияһының бирелеү өлкәһенең <math>A</math> ''аҫкүмәклеген'' тулыһынса алғанда, ул саҡта <math>A</math> күмәклегенең бөтә элементтарының образдары йыйылмаһын ҡарарға мөмкин, йәғни түбәндәге күренештәге (<math>f</math> функцияһының) ҡиммәттәре күмәклегенең аҫкүмәклеге
: <math>f(A):=\{f(x)\colon x\in A\}</math>,
ул <math>f</math> сағылышында <math>A</math> '''күмәклегенең образы''' тип атала. Был күмәклек ҡайһы берҙә <math>f[A]</math> йәки <math>A^f</math> тип тамғалана.

Киреһенсә, <math>f</math> функцияһының ҡиммәттәре өлкәһенең ниндәйҙер <math>B</math> аҫкүмәклеген алып, можно рассмотреть совокупность тех элементов области задания функции <math>f</math> функцияһының бирелеү өлкәһенең образдары <math>B</math> күмәклегенә ингән элементтарының йыйылмаһын ҡарарға мөмкин, йәғни түбәндәге күренештәге күмәклек
: <math>f^{-1}(B):=\{x\colon f(x)\in B\}</math>,
ул <math>B</math> күмәклегенең (<math>f</math> сағылышында) ('''тулы''') '''прообразы''' тип атала.

<math>B</math> күмәклеге бер элементтан торған айырым осраҡта, әйтәйек, <math>B=\{y\}</math>, <math>f^{-1}(\{y\})=\{x\colon f(x)=y\}</math> күмәклегенең ябайыраҡ тамғаланышы бар <math>f^{-1}(y)</math>.

=== Тождестволы сағылыш ===
Бирелеү өлкәһе һәм ҡиммәттәре өлкәһе тап килгән сағылыштар бирелгән күмәклектең '''үҙенә''' сағылышы йәки '''үҙгәртеүҙәр''' тип аталалар.

Айырым осраҡта, <math>X</math> күмәклегенең һәр <math>x</math> нөктәһенә шул нөктәнең үҙен ярашлы ҡуйыусы <math>f\colon X\to X</math> үҙгәртеүе, йәки, шул уҡ булған,
: һәр <math>x\in X</math> өсөн <math>f(x)=x</math>, '''тождестволы''' тип атала.
Был сағылыштың махсус тамғаланышы бар: <math>id_X</math> йәки, ябайыраҡ, <math>id</math> (әгәр контекстан ниндәй күмәклек күҙ уңында тотолғаны билдәле булһа). Бындай тамғалау үҙенең сығышы менән ''identity'' («берҙәйлек, тигеҙлек») тигән инглиз һүҙенә бурыслы.<!--- Бәлки, лат. identitas «тигеҙлек» -->

Тождестволы үҙгәртеүҙең икенсе тамғаланышы — <math>1_X</math>. Был сағылыш <math>X</math> күмәклегендә бирелгән унар операция була. Шуға күрә, йыш ҡына, тождестволы үҙгәртеүҙе '''берҙән-бер''' тип атайҙар.

=== Сағылыштар композицияһы ===
{{main|Функциялар композицияһы}}
<math>f\colon X\to Y</math> һәм <math>g\colon Y\to Z</math> — шундай ике сағылыш булһын, ти, бында беренсе сағылыштың ҡиммәттәре өлкәһе икенсе сағылыштың бирелеү өлкәһенең аҫкүмәклеге булып тора. Ул саҡта теләһә ниндәй <math>x\in X</math> өсөн шундай берҙән-бер <math>y\in Y</math> элементы бар, бында <math>y=f(x)</math>, ләкин шул уҡ <math>y</math> өсөн шундай берҙән-бер <math>z\in Z</math> элементы бар, бында <math>z=g(y)</math>. Йәғни, теләһә ниндәй <math>x\in X</math> өсөн шундай берҙән-бер <math>z\in Z</math> элементы бар, бында <math>z=g(f(x))</math>. Икенсе төрлө әйткәндә, шундай <math>h</math> сағылышы бирелгән, бында
: теләһә ниндәй <math>x\in X</math> өсөн <math>h(x)=g(f(x))</math>.
Был сағылыш <math>f</math> һәм <math>g</math> сағылыштарының '''композицияһы''' тип атала, ул <math>g\circ f</math> аңлатмаһы менән тамғалана (тап шул тәртиптә!), ул <math>g</math> <math>f</math>-тан ''һуң'' тип уҡыла.

=== Кире сағылыш ===
{{main|Кире функция}}
Әгәр <math>f\colon X\to Y</math> сағылышы үҙ-ара берҙән-бер ҡиммәтле йәки [[Биекция|биектив]] булһа (аҫтараҡ ҡарағыҙ), ул саҡта шундай <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> сағылышы бар, уның
* бирелеү өлкәһе (<math>Y</math> күмәклеге) <math>f</math> сағылышының ҡиммәттәре өлкәһе менән тап килә<!--- :<math>\mathop{dom} f^{-1}=\mathop{cod} f</math>-->;
* ҡиммәттәре өлкәһе (<math>X</math> күмәклеге) <math>f</math> сағылышының бирелеү өлкәһе менән тап килә<!--- : : <math>\mathop{cod} f^{-1}=\mathop{dom} f</math>-->;
* <math>x=f^{-1}(y)</math> [[шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына]], әгәр <math>y=f(x)</math> булһа.
<math>f^{-1}</math> сағылышы <math>f</math> сағылышына ҡарата '''кире''' сағылыш тип атала.

Кире сағылышы булған сағылыш '''әйләндерелмәле''' тип атала.

Сағылыштар композицияһы терминдарында, әйләндерелмәлек үҙсәнлеге ике шарттың бер үк ваҡытта үтәлеүенән ғибәрәт: <math>f^{-1}\circ f=id_X</math> и <math>f\circ f^{-1}=id_Y</math>.

== Үҙсәнлектәре ==

=== Образдар һәм прообраздар үҙсәнлектәре ===

==== Образдар үҙсәнлектәре ====
<math>A</math> һәм <math>B</math> — <math>f\colon X\to Y</math> функцияһының бирелеү өлкәһенең аҫкүмәклектәре булһын, ти. Ул саҡта <math>f</math> сағылышында <math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәренең образдары түбәндәге үҙсәнлектәргә эйә:
* <math>f(\varnothing)=\varnothing</math>;
* <math>A\ne\varnothing\Rightarrow f(A)\ne\varnothing</math>;
* <math>A\subset B\Rightarrow f(A)\subset f(B)</math>.
* күмәклектәр берекмәһенең образы образдар берекмәһенә тигеҙ: <math>f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)</math>;
* күмәклектәр киҫелешенең образы образдар киҫелешенең аҫкүмәклеге була <math>f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)</math>.
Һуңғы ике үҙсәнлекте теләһә ниндәй һандағы күмәклектәргә дөйөмләштерергә мөмкин.

==== Прообраздар үҙсәнлектәре ====
Әйтәйек, <math>A</math> һәм <math>B</math> — <math>Y</math> күмәклегенең аҫкүмәклектәре булһын, ти.

<math>f</math> сағылышында <math>A</math> һәм <math>B</math> күмәклектәренең прообраздары түбәндәге ике күренеп торған үҙсәнлектәргә эйә:
* күмәклектәр берекмәһенең прообразы прообраздар берекмәһенә тигеҙ:  <math>f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)</math>;
* күмәклектәр киҫелешенең прообразы прообраздар киҫелешенә тигеҙ <math>f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)</math>.
Был үҙсәнлектәрҙе теләһә ниндәй һандағы күмәклектәргә дөйөмләштерергә мөмкин.

Әгәр сағылыш ''әйләндерелмәле'' ([[#Әйләндерелмәлек|түбәндә]] ҡарағыҙ) булһа, ҡиммәттәр өлкәһенең һәр нөктәһенең прообразы бер нөктәле, шуға күрә әйләндерелмәле сағылыштар өсөн киҫелештәрҙең түбәндәге көсәйтелгән үҙсәнлеге үтәлә:
* киҫелештең образы образдар киҫелешенә тигеҙ: <math>f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)</math>.

=== Функцияларҙың үҙен тотошо ===

==== Сюръективлыҡ ====
{{main|Сюръекция}}
Әгәр <math>Y</math> күмәклегенең һәр элементына <math>X</math> күмәклегенең бер генә булһа ла элементы ярашлы ҡуйылырға мөмкин булһа, <math>f</math> функцияһы '''сюръективлы''' тип атала (йәки, ҡыҫҡаса, <math>f</math> — '''сюръекция'''). Йәғни, <math>f</math> функцияһы '''сюръектив''', әгәр <math>X</math> күмәклегенең образы сағылышта <math>Y</math> күмәклеге менән тап килһә: <math>f(X)=Y</math>.

Бындай сағылыш тағы ла <math>X</math> күмәклеген <math>Y</math> '''''күмәклегенә''''' '''сағылдырыу ''' тип атала.

Икенсе төрлө әйткәндә, сюръекцияла <math>Y</math> күмәклегенең ниндәй ҙә булһа элементының прообразы булмау мөмкин түгел.

Әгәр сюръективлыҡ шарты боҙолһа, бындай сағылышты <math>X</math> күмәклеген <math>Y</math> '''күмәклеге эсенә''' '''сағылдырыу''' тип атайҙар.

==== Инъективлыҡ ====
{{main|Инъекция (математика)|l1 = Инъекция}}
Әгәр <math>X</math> күмәклегенең һәр төрлө ике элементына <math>Y</math> күмәклегенең төрлө элементы ярашлы булһа, <math>f</math> функцияһы '''инъективлы''' тип атала (йәки, ҡыҫҡаса, <math>f</math> — '''инъекция'''). Формаль әйткәндә, <math>f</math> функцияһы '''инъективлы''', әгәр теләһә ниндәй ике <math>x_1, x_2\in X</math> элементтары өсөн, <math>f(x_1)=f(x_2)</math> булһа, <math>x_1=x_2</math> булыуы килеп сыға.

Икенсе төрлө әйткәндә, инъекция ваҡытында <math>X</math> күмәклегенең ике һәм унан күберәк төрлө элементтары <math>Y</math> күмәклегенең бер үк элементына сағылдырыла алмайҙар.

==== Биективлыҡ ====
{{main|Биекция}}
Әгәр функция ''сюръективлы'' ла, һәм ''инъективлы'' ла булһа, ул саҡта бындай функцияны '''биективлы''' йәки '''үҙ-ара бер ҡиммәтле''' тип атайҙар.

==== Үҫә барыусы һәм кәмей барыусы функциялар ====
{{main|Монотон функция}}
<math>f\colon M \subset \R \to \R</math> функцияһы бирелһен, ти. Ул саҡта

* <math>f</math> функцияһы <math>M</math> күмәклегендә '''кәмемәүсе''' функция тип атала, әгәр
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y)</math> булһа;
* <math>f</math> функцияһы <math>M</math> күмәклегендә '''үҫә барыусы''' функция тип атала, әгәр
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y)</math> булһа;
* <math>f</math> функцияһы <math>M</math> күмәклегендә '''үҫә бармаусы''' функция тип атала, әгәр
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y)</math> булһа;
* <math>f</math> функцияһы <math>M</math> күмәклегендә '''кәмей барыусы''' функция тип атала, әгәр
:: <math>\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y)</math> булһа.

Үҫә бармаусы һәм кәмемәүсе функциялар монотон функциялар тип аталалар.

Үҫә барыусы һәм кәмей барыусы функциялар ҡәтғи монотон функциялар тип аталалар.

==== Периодлылыҡ ====
{{main|Периодлы функция}}
Әгәр
:  <math>f(x+T) = f(x), \quad \forall x \in M</math> тигеҙлеге үтәлһә, <math>f\colon M \to N</math> функцияһы <math>T \not= 0</math> '''пери́оды''' менән периодлы функция тип атала.

Әгәр был [[Тигеҙлек (математика)|тигеҙлек]] бер ниндәй <math>T \in M,\, T \not=0</math> өсөн дә үтәлмәһә, ул саҡта <math>f</math> функцияһы '''апериодлы''' тип атала.

==== Йоп функция ====
{{main|Таҡ һәм йоп функциялар}}
* Әгәр
: <math>f(-x)=-f(x), \quad \forall x \in X</math> [[Тигеҙлек (математика)|тигеҙлеге]] үтәлһә, <math>f\colon X \to \mathbb{R}</math> функцияһы таҡ функция тип атала
* Әгәр
: <math>f(-x) = f(x),\quad \forall x \in X.</math> [[Тигеҙлек (математика)|тигеҙлеге]] үтәлһә, <math>f</math> функцияһы йоп функция тип атала.

==== Функцияның экстремумдары ====
{{main|Экстремум}}
<math>f\colon X \to \R,</math> функцияһы бирелһен, ти һәм <math>x_0 \in X</math> — <math>f</math> функцияһының бирелеү өлкәһенең эске нөктәһе булһын. Ул саҡта
* әгәр <math>x_0</math> нөктәһенең
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) < f(x_0)</math> шарты үтәлерлек <math>M</math> тирә-яғы булһа, <math>x_0</math> локаль максимум нөктәһе тип атала;
* әгәр <math>x_0</math> нөктәһенең
*: <math>\forall x\in M, x\ne x_0:\quad f(x) > f(x_0)</math> шарты үтәлерлек <math>M</math> тирә-яғы булһа, <math>x_0</math> локаль минимум нөктәһе тип атала.

== Күмәклектәрҙең һәм функцияларҙың үҙсәнлектәре ==
Бирелеү өлкәһе һәм ҡиммәттәре өлкәһенең тәбиғәте ниндәй булыуға бәйле рәүештә, өлкәләрҙең түбәндәге осраҡтарын айыралар:
# абстракт күмәклектәр — ниндәй ҙә булһа өҫтәмә структураһыҙ күмәклектәр;
# ниндәйҙер структуралар тағылған күмәклектәр.
'''1''' осраҡта иң дөйөм күренештә сағылыштар ҡарайҙар һәм дөйөм мәсьәләләр хәл ителәләр. Шундай дөйөм мәсьәлә булып, мәҫәлән, күмәклектәрҙе ҡеүәте буйынса сағыштырыу мәсьәләһе тора: әгәр күмәклектәр араһында үҙ-ара берҙән бер ҡиммәтле сағылыш булһа (биекция), ул саҡта бирелгән ике күмәклекте ''эквивалентлы'' йәки ''[[Күмәклектең ҡеүәте|тигеҙ ҡеүәтле]]'' тип атайҙар.
Был берҙәм шкала рәүешендә күмәклектәрҙе классификациялау үткәрергә мөмкинлек бирә, башланғыс фрагмент түбәндәгесә күренештә:
* [[сикле күмәклек]]тәр — бында күмәклектең ҡеүәте элементтарҙың һаны менән тап килә;
* [[иҫәпле күмәклек]]тәр — натураль һандар күмәклегенә эквивалентлы күмәклектәр;
* [[Континуум (күмәклектәр теорияһы)|континуум ҡеүәтле күмәклектәр]] (мәҫәлән, ысын һандар тура һыҙығының киҫеге йәки ысын һандар тура һыҙығы үҙе).
Ошоға ярашлы рәүештә, сағылыштарҙың түбәндәге миҫалдарын ҡарап үтеү урынлы булыр:
* сикле функциялар — сикле күмәклектәрҙең сағылыштары;
* [[эҙмә-эҙлелек]]тәр — иҫәпле күмәклекте ирекле күмәклеккә сағылдырыу;
* континуаль функциялар — иҫәпле булмаған күмәклектәрҙе сикле, иҫәпле йәки иҫәпле булмаған күмәклектәргә сағылдырыу.

'''2''' осраҡта, төп ҡарау объекты — күмәклектә бирелгән структура (күмәклек элементтарының өҫтәлмә үҙсәнлектәре) һәм сағылышта был структура менән ни булыры: әгәр үҙ-ара берҙән бер ҡиммәтле сағылышта бирелгән структураның үҙсәнлектәре һаҡланһа, ул саҡта ике структура араһында [[изоморфизм]] урынлаштырылған тип әйтәләр. Шулай итеп, төрлө күмәклектәрҙә бирелгән изоморфлы структураларҙы айырып булмай, шуға күрә математикала, был структура «[[изоморфизм]]ға тиклем аныҡлыҡ менән» ҡарала тип әйтеү ҡабул ителгән.

Күмәклектәрҙә бирелгән структураларҙың күп төрҙәре бар. Бында инә:
* тәртип структураһы — күмәклек элементтарының [[Өлөшләтә тәртипкә килтерелгән күмәклек|өлөшләтә]] йәки [[Һыҙыҡлы тәртипкә килтерелгән күмәклек|һыҙыҡлы тәртибе]];
* алгебраик структура — күмәклек элементтарында бирелгән [[Магма (алгебра)|группоид]], [[ярым төркөм]], [[Төркөм (математика)|төркөм]], [[Ҡулса (математика)|ҡулса]], [[Есем (алгебра)|есем]], бөтөнлөк өлкәһе йәки [[Ялан (алгебра)|ялан]];
* метрик арауыҡ структураһы — күмәклек элементтарында [[Метрика (математика)|алыҫлыҡ функцияһы]] бирелә;
* Евклид арауығы структураһы — күмәклек элементтарында [[скаляр ҡабатландыҡ]] бирелә;
* топологик арауыҡ структураһы — күмәклектә «асыҡ күмәклектәр» йыйынтығы бирелә;
* үлсәмле арауыҡ структураһы — күмәклектә бирелгән күмәклектең аҫкүмәклектәре [[сигма-алгебра]]һы бирелә (мәҫәлән, бирелгән сигма-алгебра тарафынан функцияның бирелеү өлкәһе сифатында [[Күмәклек үлсәме|үлсәмде]] биреү аша)

Аныҡ үҙсәнлекле функциялар ярашлы структуралары булмаған күмәклектәрҙә бирелә алмаҫҡа мөмкин. Мәҫәлән, күмәклектә бирелгән функцияның ''өҙлөкһөҙлөк'' үҙсәнлеге формулировкаһы, был күмәклектә ''топологик структураны'' биреүҙе талап итә. <!--- Будем рассматривать всевозможные функции вида <math>f\colon X\to Y</math>. <math>X</math> и <math>Y</math> .-->

== Дөйөмләштереү ==

=== Өлөшләтә билдәләнгән функциялар ===
<math> X</math> күмәклегенән <math>Y</math> күмәклегенә <math>f</math> ''өлөшләтә билдәләнгән функцияһы'', бирелеү өлкәһе <math>X'\subset X</math> булған <math>f\colon X'\to Y</math> функцияһы ул.

Ҡайһы бер авторҙар функция төшөнсәһе аҫтында өлөшләтә билдәләнгән функцияны аңлайҙар. Бының үҙенең өҫтөнлөктәре бар, мәҫәлән, <math>f\colon \R\to\R</math> тип яҙып була, бында <math>f(x)=1/x</math> был осраҡта <math>\mathop{\rm Dom}f=\R\backslash\{0\}</math>.

=== Күп ҡиммәтле функциялар ===
{{main|Многозначная функция}}
Функцияның билдәләмәһе буйынса, аргументтың бирелгән ҡиммәтенә функцияның теүәл бер ҡиммәте ярашлы. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, йыш ҡына [[күп ҡиммәтле функция]]лар тураһында ишетергә мөмкин. Ысынбарлыҡта, был ҡиммәттәре өлкәһе үҙе күмәклектәр ғаиләһе булған функцияның уңайлы атамаһы ғына.

<math>f\colon X\to \mathbb{B}</math>, бында <math>\mathbb{B}</math> — <math>Y</math> күмәклегенең аҫкүмәклектәре ғаиләһе булһын, ти. Ул саҡта <math>f(x)</math> теләһә ниндәй <math>x\in X</math> өсөн күмәклек була.

Әгәр аргументтың һәр ҡиммәтенә функцияның берҙән-бер ҡиммәте ярашлы булһа, функция '''берҙән-бер ҡиммәтле''' була.

Әгәр аргументтың бер генә ҡиммәтенә булһа ла функцияның ике йәки күберәк ҡиммәте ярашлы булһа, функция '''күп ҡиммәтле''' була<ref>[http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Korn1973ru.djvu Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М., 1973 г. Глава 4. Функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление. 4.2. Функции. 4.2-2. '''Функции со специальными свойствами'''. ('''а'''), стр.99.]</ref>.

== Шулай уҡ ҡарағыҙ ==
* [[Функциональ тигеҙләмә]]
* [[Алгоритм]]
* [[Тигеҙләмә]]
* [[Булев функцияһы]]

== Иҫкәрмәләр ==
{{Иҫкәрмәләр}}

== Әҙәбиәт ==
* Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
* ''Клейн Ф.'' [[s:Элементарная математика с точки зрения высшей/Общее понятие функции|Общее понятие функции]]. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 1. М.—Л., 1933.
* {{книга
 |автор = [[Лавров, Игорь Андреевич|{{nobr|И. А. Лавров}}]], [[Максимова, Лариса Львовна|{{nobr|Л. Л. Максимова}}]].
 |часть = Часть I. Теория множеств
 |заглавие = Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов
 |ссылка =
 |ответственный=
 |издание = {{nobr|3-е изд}}
 |место = М.
 |издательство = Физматлит
 |год = 1995
 |том =
 |страницы = 13—21
 |страниц = 256
 |isbn = 5-02-014844-X
}}
* {{книга
 |автор        = [[Келли, Дж Л|{{nobr|Дж. Л. Келли}}]].
 |часть = Глава 0. Предварительные сведения
 |заглавие = Общая топология
 |ссылка =
 |ответственный=
 |издание = {{nobr|2-е изд}}
 |место = М.
 |издательство = Наука
 |год = 1981
 |том =
 |страницы = 19—27
 |страниц = 423
 |isbn =
}}
* {{Статья в Кванте
 |автор = [[Колмогоров, Андрей Николаевич|А. Н. Колмогоров]]
 |название = Что такое функция
 |номер = 1
 |год = 1970
 |страницы = 27—36
 |url = 1970/01/chto_takoe_funkciya.htm
}}

* {{Статья в Кванте
 |автор    = [[Виленкин, Наум Яковлевич|Виленкин Н.]]
 |название = Как возникло и развивалось понятие функции
 |год      = 1977 
 |номер    = 7
 |страницы = 41—45
 |url      = 1977/07/kak_vozniklo_i_razvivalos_pony.htm
}}
* {{cite web
 |url = http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Functions.html
 |title = The function concept
 |work = MacTutor History of Mathematics archive
 |author = J. J. O'Connor, E. F. Robertson
 |publisher = School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
 |date = 2005-10
}}

[[Категория:Күмәклектәр теорияһы]]
[[Категория:Функциялар]]